数学思维之花,逆向思维出奇制胜

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著名教育家苏霍姆林斯基说：“思维就像一棵花，它是逐渐地积累生命汁液的，只要我们用这种汁液浇灌它的根，让它受到阳光照射，它的花朵就会绽开。”

逆向思维（又称反向思维）是相对于习惯性思维的另一种思维形式。它的基本特点是从已有的思路的反方向去思考问题。它对解放思想、开阔思路、解决某些难题、开创新的方向，往往能起到积极的作用。

问题探究

某卡车只能带L公升汽油，用这些汽油可行驶a公里。现在要行驶4a/3公理到某地，途中没有加油的地方，但可以先运汽油到路旁任何地点存储起来，准备后来之用。假定只有一辆汽车，问应如何行驶，才能到达目的地，并且最省汽油？如果到达目的地是31a/21公里，又该如何？

分析：本题注重的是最少耗油量，因此关键就在于如何确定存油站的位置。如果我们直接从卡车的出发地着手解决这一问题，会感到无从着手。因此我们从目的地开始出发倒过来分析这一问题，即先考虑离目的地最近的存油站设在哪里，储油多少，才能使耗油最省，然后再考虑离目的地第二近的储油站的位置，及储油的数量，直至解决问题。

解：如图1，折A为出发点，B为目的地，当AB=4a/3时，

虽然卡车不能一次直至目的地，所以在途中必须设储油站。因为卡车装满油只能行驶a公里，因此离目的地最近的储油站必须设在离B点a公里的C处，并且在C处至少要储油L公升，而要运送L公升汽油到C点，卡车在AC之间至少要运油两趟，单程三次，并且耗油L公升，所以还要在AC之间距C点1/3a

公里处再设一个储油站，并且至少储油2L公升。而AC=1/3a，所以当AB=4a/3时，只要在离B点a公里处设一个储油站，就能到达目的地，而且最省汽油。

)，并且在D点处必须储油2L公升。

而要运送2L公升的汽油到D点，卡车在AD之间至少要运油三趟，单程

解决。

问题拓展

本题也可推广到一般情况，如果AB=d，沿途需要n个加油站，依次为C1，C2，C3，…Cn。(如图3)

首先考虑Cn的位置及储油数量。显然，CnB的长为a公里，汽车在CnB之间至少行驶一次，耗油L公升，因此Cn至少应储油L公升。其次再分析Cn-1的位置，要运送L公升汽油到Cn，汽车在Cn-1Cn之间至少

至少应储油2L公升。同样可以分析Cn-2的位置及储油的数量。要运送2L公升汽油到Cn-1，汽车在Cn-2Cn-1之间至少运油三趟，单程五次耗油

进一步把它推广，如设B=Cn＋1，按照以上的方法进行分析可知，在Cn-(k-1)点处必须储油kL升，而要运送kL公升汽油到Cn-(k-1)处，汽车在Cn-kCn-(k-1)之间至少要运油k+1趟，单程2k＋1次，耗油L

(k＋1)L公升(k=0，1，2，…)

问题反思

在解决以上这个问题的过程中，我们是从最后的结果出发，按照相反的次序去求初始条件。这就是我们通常所说的逆向思维，它是分析法的一种特殊形式，是由著名哲学家德博洛提出的，专门从相反方向、对立的角度去思考问题的一种方式。这种思维方式在解数学题时也很有益处。当一些问题直接从正面解答不是很顺利时，改变思维的方向，可以从结论入手或从条件及结论的反面进行思考。是我们在解决问题中非常有效的方法。尤其当我们的思维受到时空顺序或逻辑顺序的制约，思路沿着一个方向受阻的时候，如果能调过头来思考问题，也许就豁然开朗了。

问题应用

1.小远买1角钱的邮票和2角钱的邮票共张，一共花了17元钱．他买了1角和2角的邮票各多少张？

解析：假设买来的张都是2角邮票，那么总钱数应为：2×-（角）=20（元）．可实际上小远只花了17元钱，比假设少3元钱，这是因为其中有1角钱的邮票．若有一张1角邮票，总钱数就相差1角．由此可求出1角邮票张数为：3元=30角，30÷1=30（张）．2角邮票张数为：-30=70（张）．

2.三年级的46名同学去划船，准备了可乘6人的船和可乘4人的船共10只．如果所有的学生恰好分配在这10只船上而没有空位，那么大船和小船各几只？

解析：方法一：设大船x只，则小船（10-x）只，根据题意得：

6x+4（10-x）=46，解得：x=3，则10-x=10-3=7，答：租了小船7只，大船3只；

方法二：小船：（6×10-46）÷（6-4）=14÷2=7（只），大船：10-7=3（只）；

答：租了小船7只，大船3只．

3．池塘里睡莲覆盖的面积每天长大一倍，若经17天可长满整个池塘，问需多少天，这些睡莲能长满半个池塘？

解析：因为睡莲覆盖的面积每天长大一倍，以半个池塘到长满整个池塘需要一天的时间，所以长到半个池塘需要16天。

4.某区举行小学生篮球比赛，共有16个学校参加，采用淘汰赛，每两个学校为一组赛一场，失败者被淘汰，获胜者进入下一轮，如此进行下去，直到决出冠军队为止。一共要赛多少场？

解析：从正向思维，我们会这样思考：16个学校参加淘汰赛，两校一组，共8组，要赛8场。之后8校胜出，再两两组成4对，又赛4场。胜出的4个学校组成2对，赛2场。最后两个学校赛1场决出冠军。这样总比赛场次：8＋4＋2＋1＝15（场）

从逆向思维出发：淘汰赛比赛规则（失败者被淘汰）最后的冠军只有1个，即剩下的15个学校都被淘汰掉，一场比赛只能淘汰掉一个学校。所以总场次是：16－1＝15（场）

5．某商店批发进一批肥皂，并以下列方式销售出去，每次卖出店内剩余肥皂总数的一半又半条。若第9位顾客恰好买走了店内所有存货，问该商店总共批发进多少条肥皂？

解析：首先考虑最后一位顾客共买了多少条肥皂，即第八位顾客买好以后，尚余多少条肥皂。

设最后一位买了x条肥皂，则x=x/2+1/2,即有x=1.

同理设第七位顾客买好后，商店内还余y条肥皂，则y=y/2+1/2+1,即有y=3.

一般地，设第几个顾客买好后还余an条，第n＋1个顾客买好后还余an+1条，则可得到下面的关系式：

即：an=2an+1+1其中a9=0，n≤8，n∈N，

由倒推法可得a8=1，a7=3，a6=7，…a2=，a1=。

所以第1个顾客买好后还余条肥皂。因此该商店共批进肥皂条。

总之，逆向思维的基本特点：从已有思路的反方向去思考问题。顺推不行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接解决;正命题研究过后，研究逆命题；探讨可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有利于克服思维定势的保守性，它对解放思想、开阔思路、发现新生事物，开辟新的方向，往往能起到积极作用。